Как поделить окружность на 12 равных частей

Деление круга на равные части

Ниже представлены два калькулятора, рассчитывающие параметры разделения круга на равные части. Сначала – традиционный калькулятор, который делит круг на равные части радиусами (примерно так, как режут пиццу или торт), под ним – нетрадиционный калькулятор, который делит круг на равные по площади части параллельными хордами. Оба калькулятора визуализируют результат рисунком. Методы расчета с формулами для обоих калькуляторов приведены ниже, под калькуляторами.

Деление круга на равные по площади части радиусами

Деление круга на равные по площади части параллельными хордами

Деление круга на равные части радиусами

Традиционный и очень простой метод деления круга – по факту, нарезка равных секторов. Метод и формулы очень просты:

  1. Определяем угловой размер каждого сектора в радианах, путем деления 360 градусов на нужное число секторов.
  1. Определяем размер дуги сектора, перемножая радиус на угол в радианах
  1. Определяем размер хорды по теореме косинусов (хорда является основанием равнобедренного треугольника с боковыми сторонами R и противолежащим углом альфа.

Собственно и всё – мы получили все характеристики для N равных секторов

Деление круга на равные части параллельными хордами

Этот способ более любопытен, чем предыдущий. Для простоты будем рассматривать верхнюю половину круга, так как с нижней все будет симметрично.

Деление круга на три равные части двумя хордамиДеление круга на три равные части двумя хордами

Задача состоит в определении x-вой координаты точек, через которые нужно проводить хорды (на рисунке это точки x1 и x2). Выведем для начала формулу площади куска, отсекаемого хордой слева.

Верхнюю полуокружность можно представить графиком функции y=f(x), где x – это координата вдоль оси абсцисс, а y – это функция, численно равная y координате соответствующей точки верхней полуокружности.

y=f(x)y=f(x)

По теореме Пифагора получаем следующую функцию

Чтобы получить площадь фигуры, отсекаемой хордой слева, надо проинтегрировать эту функцию от -R до x. Первообразная функции равна:

Осталось определиться с константой. Нам надо, чтобы в точке с координатами -R площадь была равна нулю. Подставив -R вместо x в формулу выше, получаем

Итак, полное выражение

Теперь рассмотрим нахождение координат крайней левой точки. Нам известна площадь, которую она должна отсечь (напоминаю, речь идет о полуокружности)

Таким образом мы можем приравнять

Что дает нам такое финальное уравнение

Данное уравнение является трансцендентным, а поэтому находить координату первой точки придется численным методом, например, методом бисекции или методом Ньютона. Калькулятор использует метод Ньютона.

Вторая и последующие точки находится аналогично, путем изменения размера отсекаемой площади. Для второй точки это будет , для третьей и так далее.

Зная координаты точек, несложно рассчитать все остальные параметры, в частности, длину хорды.

Как разделить отрезок на равные части — формулы и способы

С одной стороны, разделить отрезок на равные части несложно, но с другой стороны, при этом могут появиться и трудности. Разбить какой-либо промежуток на равные части требуется не только для решения задач по геометрии, но и во многих областях жизни. В бытовой ситуации, например, такое деление может потребоваться для того, чтобы повесить картину на стене или установить мебельный гарнитур в определённой части комнаты.

Как разделить отрезок на равные части - формулы и способы

Два одинаковых значения

Самый простой способ разделить на две равнозначные доли — воспользоваться линейкой. Необходимо отмерить общую длину от точки А до точки В и разделить это значение на два. Полученное число следует отметить на заданном интервале, совместив отметку 0 на линейке с точкой А.

Как разделить отрезок на равные части - формулы и способы

При делении на две идентичные доли можно воспользоваться циркулем. Для начала надо отмерить расстояние, которое будет несколько больше, чем предполагаемая половина исходной линии. Чертим две окружности, радиус которых мы определили циркулем. Одну окружность проводим из точки А, а другую — из В. Обе эти окружности между собой соединяются, образуя новые точки — С и D. Потом с помощью линейки и карандаша следует провести линию, соединяющую точки C и D. В том месте, где линия пересекает отрезок, образуется точка Е, которая является центром, а соответственно и делит его пополам.

Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)

Деление окружности на 3 и 6 одинаковых частей

Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.

Получение четырех частей

В таком варианте деления можно в упрощённом виде воспользоваться линейкой. Здесь последовательно сначала отмеряется середина, то есть отрезок делится на две равные части, как указывалось выше, а затем каждый из осечённых секторов по отдельности разделяется пополам. Таким образом, получаются четыре равных отрезка.

Однако такой вариант оказывается удачным лишь на тех прямых, которые имеют целое числовое значение. Здесь следует воспользоваться циркулем.

Разложение при помощи циркуля

Как и в первом описании, при помощи черчения двух окружностей заданный отрезок следует поделить пополам. Таким образом, на прямой образуется два отрезка — АЕ и ЕВ. Далее следует совершить аналогичные действия, но уже с двумя отрезками по отдельности. То есть, взяв отрезок АЕ, провести две окружности:

  • одну — из точки А;
  • вторую — из точки Е.

И снова в местах соединения этих двух дуг нужно провести прямую линию. Тот же самый алгоритм применяется и в отношении линии ЕВ. После проведённых манипуляций отрезок будет пересечён тремя перпендикулярными прямыми, а соответственно, разделён на четыре равные части.

Нахождение центра дуги окружности

Нахождение центра дуги окружности

Для нахождения центра дуги окружности нужно выполнить следующие построения: на данной дуге отмечаем четыре произвольные точки А, В, С, D и соединяем их попарно хордами АВ и СD. Каждую из хорд при помощи циркуля делим пополам, получив, таким образом, перпендикуляр, проходящий через середину соответствующей хорды. Взаимное пересечение этих перпендикуляров даёт центр данной дуги и соответствующей ей окружности.

деление на части Для деления окружности на любое число равных частей часто пользуются приведённой в статье таблицей коэффициентов для длин хорд заданной окружности.

Теорема Фалеса

Если с делением на две или четыре равные части всё более или менее понятно, то деление отрезка на n равных частей вызывает определённые трудности. Здесь приходит на помощь формула параллельных прямых, описанная в теореме Фалеса.

Суть теоремы состоит в том, что при отложении одинаковых отрезков на одной прямой и проведении через концы этих отрезков параллельных прямых, пересекающих другую прямую, то и на второй прямой будут отложены равные между собой отрезки.

Как разделить отрезок на равные части - формулы и способы

Например, на определённой прямой необходимо отмерить пять одинаковых отрезков. Для начала из точки А следует провести прямую линию, которая будет направлена в сторону противоположного конца отрезка (точки В) под острым углом относительно исходной прямой. Теперь при помощи циркуля на этой линии следует отложить пять равных отрезков. Из точки, отмерившей последний отсек, следует очертить линию в точку В. Затем провести прямые, параллельные той, которая проходит через точку В. Каждая линия должна проходить через отмеченные циркулем точки. При условии, что все линии будут строго параллельны друг другу, на исходной прямой будет отложено пять равных отрезков.

Зная, как производить деление на одинаковые части, можно, например, понять, как разделить треугольник на 4 равные части или более. По указанным вариантам деления на сегменты можно производить следующие действия:

  • делить прямоугольник на несколько одинаковых прямоугольников;
  • разделять треугольник, а соответственно, и его угол на две и более частей;
  • рассекать прямой угол на три равных угла;
  • разбивать окружность на одинаковые участки.

Все эти знания важны в машиностроении при вычерчивании деталей, а также активно применяются в инженерных работах.

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Егор Новиков
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий